СЕРЕНДИПОВІ СКІНЧЕННІ ЕЛЕМЕНТИ: ГЕОМЕТРИЧНІ ПІДХОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ АПРОКСИМАЦІЇ У МЕТОДІ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ

Анотація

Датою народження серендипових апроксимацій уважається 1968 р., коли І. Ергатудіс, Б. Айронс і О. Зенкевич показали, як випрямити криволінійний скінченний елемент за допомогою перетворення координат. Сьогодні в техніці метода скінченних елементів таке перетворення являє собою центральний засіб. Як відомо, найкращими границями елементарних областей є кусочно-поліноміальні функції з тих же причин, по яких вони найкращим чином наближають переміщення: з ними зручно працювати на комп’ютері. Виявилося, що вибір координат можливо описати тим самим класом поліномів, із якого беруться пробні функції. Такі перетворення називають ізопараметричними. Саме вони стимулювали появу серендипових моделей у теорії наближення функцій двох и трьох аргументів. На жаль, творці серендипового сімейства скінченних елементів обмежилися лише стандартними моделями, які не вільні від відомих недоліків. За своїми інтерполяційними й обчислювальними якостями серендипові елементи, безумовно, переважають лагранжеві. Задачі побудови нестандартних моделей, позбавлених конкретних недоліків, виявилися занадто складними для їх розв’язання традиційними методами матричної алгебри. Застосовуючи геометричне моделювання в комбінації з матричним аналізом, автори на прикладі бікубичного серендипового елемента розвивають теорію багатопараметричних серендипових апроксимацій. Залучення нових ідей і нових методів у теорію серендипових апроксимацій здатне змінити (іноді радикально) деякі уявлення. Метод інтерпретацій у математичному моделюванні містить особливу процедуру перекладання початкової задачі на іншу мову і розв’язування вже «іншої» задачі замість початкової, що дає змогу пояснити «парадокси» стандартної моделі.