СТІЙКІСТЬ СИСТЕМ ЗІ ЗМІННИМ ТА РОЗПОДІЛЕНИМ ЗАПІЗНЕННЯМ

Анотація

Більшість сучасних досліджень стійкості динамічних систем присвячено дослідженню критеріїв стійкості за допомогою функцій та функціоналів Ляпунова. Оцінкам максимального показника Ляпунова, що характеризує його швидкість зменшення рішень, присвячено значно меншу кількість досліджень. Так, у роботах Д. Я. Хусаінова такі оцінки знайдено методом функцій Ляпунова. Інший підхід, заснований на оцінках еволюційного оператора системи, дозволяє отримувати критерії стійкості та верхню оцінку максимального показника Ляпунова, виражені безпосередньо через параметри системи, без використання функцій або функціоналів Ляпунова. Для систем без запізнення такі результати наведено у ранніх працях з цієї тематики 70х років. У роботах професора О. А. Зевіна такий підхід був застосований для систем, що містять запізнення. У більшості робіт розглядаються системи з постійним запізненням, проте, найчастіше, інформація про функцію запізнення відсутня, відома лише її верхня межа, крім того, система може містити розподілене запізнення. Стійкість систем зі змінним і розподіленим запізненням вивчена значно меншою мірою. У статті розглянуто такий клас систем, що містять змінне запізнення в лінійній частині, а також включають елементи з розподіленим запізненням. Цей фактор ускладнює аналіз поведінки та стійкості систем, що розглядаються. Основну увагу приділено дослідженню впливу параметрів запізнення. Зокрема, отримано двосторонні оцінки максимального показника Ляпунова, які подано через норму нелінійного члена системи та максимальні значення функцій запізнення. Це дозволяє встановити як верхні, так і нижні межі збіжності або розбіжності розв’язків. Для окремих класів систем встановлено точні значення зазначеного показника, що є важливим результатом для практичного аналізу стійкості. Для всіх зазначених систем ефективність запропонованого підходу перевірено на модельних прикладах, отримані результати суттєво розширюють відому інформацію.