АЛГОРИТМ КУСКОВО-ПЛАНАРНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ НА ПОЛІГОНАЛЬНИХ ОБЛАСТЯХ

Анотація

У статті йдеться про кусково-планарну апроксимацію, яку вперше запропонував Р. Курант, започаткувавши розвиток методу скінченних елементів (МСЕ). Подальше узагальнення основної ідеї Куранта про найпростіші базові функції стало вирішальним кроком у техніці МСЕ. Побудова простих елементів корисна сама собою, але ще важливіше те, що у цих елементах можна переконливо проілюструвати існування глибоких зв’язків між поліноміальною інтерполяцією на скінченному елементі і теорією ймовірностей. У роботі показаний алгоритм конструювання фінітних функцій вищих порядків на елементах у формі квадрата і трикутника з використанням функції-«напівкришки». У кожному трикутнику тріангуляції реалізуємо ідею рандомізації функції Куранта, яку можна отримати як геометричну ймовірність у кожному трикутнику комірки Куранта. Недоліком стандартної моделі є фізична неадекватність повузлового розподілу рівномірної масової сили (негативізм деяких вузлових навантажень). Такий розподіл один із засновників методу скінченних елементів О. Зенкевич називає протиприродним, незважаючи на його теоретичну достовірність. Досвід роботи О. Зенкевича зі стандартними базисами квадратних скінченних елементів вищих порядків переконав його у тому, що теоретично обґрунтований розподіл вузлових навантажень (навіть, якщо він протиприродний) гарантує більшу точність, ніж рівномірний (або будь-який інший) розподіл, що базується на інженерній інтуїції. Тобто, можна зробити висновок: оптимальні базиси – це такі базиси, які реалізують теоретично і фізично обґрунтовані розподіли вузлових навантажень. У роботі показано, що цей недолік виникає при виборі методу визначення базових функцій за допомогою матричної алгебри. Нематричні методи конструювання базисних функцій, це один із способів усунення «негативізму» у вузлових розподілах навантажень моделей вищих порядків. Як результат, отримана альтернативна модель бікубічного скінченного елемента серендипового сімейства (елемент 3-го порядку). Глибока та плідна ідея Куранта про кусково-планарну апроксимацію фінітних функцій отримала просте ймовірнісне тлумачення. Запропонований алгоритм кусково-планарної апроксимації на двовимірних полігональних областях дає наочний та зручний метод конструювання альтернативних базисів, який може бути узагальнений на просторові дискретні елементи.