НАБЛИЖЕНА ПОБУДОВА ГЕОДЕЗИЧНИХ ЛІНІЙ НА ПОВЕРХНЯХ ОБЕРТАННЯ

Анотація

На даний час геодезичні лінії привертають увагу як вітчизняних так і зарубіжних науковців. В теоретичних дослідженнях геодезична лінія відіграє важливу роль як лінія внутрішньої геометрії поверхні. На практиці властивості геодезичних ліній використовуються для визначення найкоротших відстаней або армування оболонок тощо. При спряженні двох поверхонь лінія їх контакту теж є геодезичною. Цією властивістю можна скористатися для проектування спряжених циклічних гвинтових поверхонь, які мають місце, наприклад, в зачепленнях Новікова. Пошук геодезичних ліній на нерозгортуваних поверхнях є досить складним. В аналітичному плані ця задача зводиться до складання і розв’язування диференціальних рівнянь, знайти явний розв’язок яких вдається лише в нечисленних випадках. Автори пропонують графо-аналітичний метод відшукання геодезичних на поверхні обертання загального вигляду за допомогою розгорток. Точність цього методу безпосередньо залежить від точності побудови умовних (наближених) розгорток нерозгортуваних поверхонь обертання. У цьому випадку доцільно використовувати метод побудови розгорток з використанням інтегрального числення. Запропонований графоаналітичний метод відшукання геодезичних можна також використовувати і для інших поверхонь. Наближені геодезичні лінії на поверхнях за допомогою розгорток можна будувати двома способами: в першому враховується положення теореми Клеро, а в другому – сегменти умовної наближеної розгортки поверхні поєднуються так, щоб можна було провести суцільну пряму лінію. Для докладного опису двох методів розглянуто дві поверхні – параболоїд обертання і катеноїд. Визначати загальний вигляд геодезичних ліній на поверхнях можна без побудови самих розгорток, а використовувати тільки принцип побудови геодезичної на ній. Наближена геодезична лінія є ламаною, довжину якої легко порахувати, маючи необхідні геометричні розміри поверхні. Запропонований графо-аналітичний метод визначення геодезичних ліній досить простий. Його легко застосовувати для поверхонь обертання загального виду або «гофрованих».