КУСКОВО-ПЛАНАРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ БАЗИСІВ МІШАНИХ СЕРЕНДИПОВИХ ЕЛЕМЕНТІВ
DOI:
https://doi.org/10.32782/KNTU2618-0340/2020.3.2-2.28Ключові слова:
кусково-планарний метод (КПМ) відновлення функцій двох аргументів; скінченний елемент Q10; фізична адекватність спектра вузлових навантажень; несумісні елементи, кускове тестуванняАнотація
Перші моделі серендипових скінченних елементів мали однакову кількість граничних вузлів у напрямках Ox і Oy. Найбільше розповсюдження у практичних розрахунках набули елементи Q8 (біквадратична інтерполяція) та Q12 (бікубічна інтерполяція). Ці елементи цілком придатні і зручні для задач відновлення функцій в ізотропному середовищі. Для задач в ортотропному середовищі потрібні мішані моделі серендипових елементів. Як приклад мішаної моделі ми аналізуємо серендипів елемент Q10 (квадратично-кубічна інтерполяція). У напрямку осі Ох функція змінюється за законом кубічної параболи, а вздовж осі Оу – за законом квадратичної параболи. У роботі розглядаються класичні та нетрадиційні методи конструювання базисів мішаного скінченного елемента Q10, який складається із елементів: Q8 і Q12 . Як і передбачалося, класичні підходи (метод оберненої матриці і нематричний метод Тейлора) показали, що мішана модель Q10 успадковує недоліки «інгредієнтів» Q8 і Q12. Мова йде про фізичну неадекватність спектрів еквівалентних вузлових навантажень від одиничної масової сили. Стандартна модель Q10 має від’ємні навантаження у кутових вузлах носія. Це неприродне явище «гравітаційного відштовхування» назвали парадоксом Зенкевича, який у 1971 році вперше звернув увагу на небажану особливість стандартних серендипових СЕ. На думку Зенкевича, цей недолік усунути неможливо, треба змиритися. У роботі показано, що альтернативи існують. Для побудови математично обґрунтованих і фізично адекватних базисів елемента Q10 пропонується простий і наочний метод геометричного моделювання. Алгоритм використовує лише фрагменти площин. Портрети ліній нульового рівня містять лише відрізки прямих. Побудова починається саме з таких портретів. Лишається виконати процедуру Уачспресса – product of planes. Портрети ліній нульового рівня суттєво спрощують когнітивно-графічний аналіз рельєфу базисних поверхонь. Автори свідомо сконструювали додатково дві несумісні моделі елемента Q10, які успішно витримали кускове тестування.
Посилання
Wachspress E. I. A Rational Finite Element Basis. Academic Press. New York, 1975. 344 p.
Хомченко А. Н. Некоторые вероятностные аспекты МКЭ. Ивано-Франковск: Ивано-Франковский ин-т нефти и газа, 1982. Деп. в ВИНИТИ 18.03.82, № 1213. 9 с.
Хомченко А. Н., Мотайло А. П. Две модели кусочно-линейной интерполяции на октаэдре. Проблеми інформаційних технологій. 2011. №1. С. 47−50.
Астионенко И. А., Литвиненко Е. И., Хомченко А. Н. Вероятностная природа кусочно-планарной аппроксимации. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2014. №5 (176). Вып. 34. С. 142−149.
Zienkiewicz O. C. The Finite Element Method in Engineering Science. London: McGraw-Hill, 1971. 571 p.
Norri D. H., de Vries G. An Introduction to Finite Element Analysis. London: Academic Press, 1978. 301 p.
Strang G., Fix G. J. An Analysis of the Finite Element Method. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc. 1973.
Taylor R. L. On the Completeness of Shape Functions for Finite Element Analysis. J. Num. Meth. Eng. 1972. Vol. 4. № 1. P. 17−22.
Brown J. H. Nonconforming Finite Elements and Their Applications. (M. Sc. Thesis), Dundee: University of Dundee, 1975.
Irons B. M. The Patch Test for Engineers. Invited paper, Symposium at the Atlas Computing Laboratory. (U.K., Didcot, March 26-28, 1974). P. 167−192.
Хомченко А. Н., Литвиненко О. І., Астіоненко І. О. Когнітивно-графічний аналіз ієрархічних базисів скінченних елементів. Монографія. Херсон: ОЛДІ-плюс, 2019. 260 с.
