ТРИГОНОМЕТРИЧНІ СУБСТИТУТ-БАЗИСИ СКІНЧЕННОГО ЕЛЕМЕНТА Q8
DOI:
https://doi.org/10.32782/2618-0340/2020.1-3.25Ключові слова:
скінченний елемент Q8, поліноміальний базис, тригонометричний базис, локальні та інтегральні характеристики базису, спектр вузлових навантажень, фізична неадекватність спектраАнотація
У роботі наведено приклади нових моделей тригонометричних базисів, які поставлено на заміну (substitute) поліноміальним базисам (стандартному та альтернативним) популярного елемента Q8. На перших етапах розвитку метода скінченних елементів (МСЕ) вважалось, що головна перевага методу – поліноміальна інтерполяція. Поліноми Лагранжа у ролі базисів та алгебраїчний трикутник Паскаля забезпечили стрімке поширення МСЕ і зростання його популярності. Розвиток комп’ютерних технологій систематично і впевнено змінює ставлення зацікавлених фахівців до задач конструювання базисних функцій. Сьогодні розробники пакетів прикладних програм все частіше звертають увагу на раціональні функції і навіть функції більш загальних класів. Оригінальні базиси скінченних елементів на основі тригонометричних функцій ілюструють «м’яке» математичне моделювання (за терміном В. Арнольда). У конструктивній теорії серендипових апроксимацій тригонометричні функції ще не використовували. Скінченний елемент Q8 широко розповсюджений в МСЕ і успішно працює в ансамблі з трикутним елементом Т6 і квадратом Q9. Специфіка тригонометричних функцій змушує відмовитись від традиційного методу оберненої матриці. Для «проміжних» локальних функцій Q8 ми використовуємо коноїди Каталана, а «кутові» функції конструюємо нематричним методом Р. Тейлора. Відсутність прикладів тригонометричного моделювання базисних функцій гальмує розвиток цього напрямку досліджень. Добре відома лише одна функція базису Q9 – «дута» мода О. Зенкевича (1971 р.), яку він сконструював із фрагментів функції косинус. У роботі запропоновані «рецепти» усунення фізичної неадекватності спектра вузлових навантажень («парадокс» Зенкевича). Отримані результати і конкретні приклади підтверджують думку, що фінітні інтерполяційні функції можуть бути неполіноміальними. Застосування тригонометричних функцій відкриває нові можливості для усунення від’ємних вузлових навантажень.
Посилання
Zienkiewicz O. C. The Finite Element Method in Engineering Science. London: McGraw-Hill, 1971. 571 p.
Oden J. T. Finite Elements of Nonlinear Continua. N.Y.: McGraw-Hill, 1972. 431 p.
Strang G., Fix G. J. An Analysis of the Finite Element Method. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1973. 4. Norri D. H., de Vries G. The Finite Element Method. Fundamentals and Applications. New York, London: Academic Press, 1973. 324 p.
Гучек П.И., Литвиненко Е.И., Хомченко Б. А. Сглаженные аппроксимации на сирендиповых элементах. Прикладная математика и математическоемоделирование. Материалы VII Международного симпозиума по методу дискретных особенностей в задачах математической физики (Феодосия, 9-14 июня 1997). Феодосия: ХГТУ. 1997. С. 62-64.
Хомченко А.Н., Литвиненко О.І., Астіоненко І.О. Згладжені апроксимації біквадратичного скінченного елемента. Прикладна геометрія та інженерна графіка. Мелітополь: ТДАТУ, 2011. Вип. 4, Т.5. С. 65 – 71.
Мотайло А. П., Хомченко А. Н. Об октаэдре с тригонометрическим базисом. Образование и наука без границ: Материалы VIII междунар. конференции. (Пшемысль, 7-15 декабря 2011). Пшемысль: Sp. z o.o. «Nauka I studia», 2011. Т. 27. Математика. Современные информационные технологии. С. 25–29.
Segerlind L. J. Applied Finite Element Analysis. London: John Wiley, 1975. 428 p.
Gallagher R. J. Finite element analysis: Fundamentals. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1975. 416 p.
