АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ЛІНІЙНИМИ СИСТЕМАМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ВИРОДЖЕННЯМИ
DOI:
https://doi.org/10.32782/mathematical-modelling/2023-6-2-4Ключові слова:
система оптимального керування, системи диференціальних рівнянь з виродженнями, асимптотичний розв’язок, точка поворотуАнотація
Сингулярно збурені системи оптимального керування, що містять змінні параметри, інтегруються асимптотичними методами. Асимптотичний розв’язок згаданої системи залежить від спектру головної матриці системи. Для систем лінійних алгебраїчно-диференціальних рівнянь асимптотичні розв’язки залежать від спектру граничної в’язки матриць. Оптимізаційні задачі керування системами сингулярно збурених алгебраїчно-диференціальних рівнянь почали досліджуватись у нинішньому столітті. Теорію асимптотичного інтегрування систем з виродженнями розроблено у працях А.М. Самойленка, М.І. Шкіля, Г.С. Жукової, В.П. Яковця наприкінці минулого століття. Розроблені методи дали можливість побудувати асимптотичні розв’язки систем з виродженнями для випадку стабільного спектру граничної в’язки матриць. Розв’язки згаданих систем керування побудовано у працях В.П. Яковця та О.В. Тарасенко. Важливими у практичних застосуваннях є системи сингулярно збурених рівнянь із точками повороту. Для систем звичайних диференціальних рівнянь із точками повороту асимптотичні розв’язки побудовано у працях М. Івано, Я. Сибуйя, В. Вазова. Асимптотичні розв’язки систем із точками повороту є багатомасштабними. Двомасштабні асимптотичні розв’язки систем алгебраїчно-диференціальних рівнянь побудовано А.М. Самойленком та П.Ф. Самусенком. Системи оптимального керування звичайними диференціальними рівняннями із нестабільним спектром досліджував В.М. Лейфура. У цій статті отримані згаданими авторами результати застосовуються до розв’язування задачі оптимального керування системою сингулярно збурених алгебраїчно-диференціальних рівнянь із простою точкою повороту. Побудовано асимптотичне зображення матриці імпульсних перехідних функцій системи рівнянь із простою точкою повороту, дано асимптотичні оцінки побудованих наближень. У загальній постановці задача оптимального керування розглядається без отримання конкретних оцінок. На оцінку похибки впливає як кратність, так і тип точки повороту. Система, що утворюється застосуванням принципу максимуму Понтрягіна також матиме нестабільний спектр, але тип точки повороту може змінитися. Тому конкретні оцінки потребують окремого розгляду. Це буде задачею майбутніх досліджень.
Посилання
Leifura V. N. On One Problem of Automatic Control with Turning Points. Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics : Proccedings of the Second International Conference. Kyiv, 1997. V. 2. Р. 488–491.
Rashevs’kyi M.O., Samusenko P.F., Tomashchuk O.P. Asymptotic Solutions of Singularly Perturbed Differential Algebraic Equations with Turning Points. Journal of Mathematical Sciences. 2023. Vol. 273. P. 271–289.
Рашевський М. О. Асимптотичне розв’язування задачі оптимального керування нестаціонарними системами. Математичне моделювання. 2020. № 2(43). С. 14–20.
Samoilenko A. M. On the asymptotic integration of a system of linear differential equations with a small parameter in the coefficients of a part of derivatives. Ukr. Mat. Zh. 2002. Vol. 54, No. 11. P. 1505–1516.
Самойленко А. М., Шкіль М. І., Яковець В. П. Лінійні системи диференціальних рівнянь з виродженнями. Київ : Вища шк., 2000. 294 с.
Самойленко А.М., Самусенко П.Ф. Асимптотичне інтегрування сингулярно збурених диференціально-алгебраїчних рівнянь із точками повороту. І. Укр. мат. журн., 2020, т. 72, № 12. С. 1669–1681.
Самойленко А.М., Самусенко П.Ф. Асимптотичне інтегрування сингулярно збурених диференціально-алгебраїчних рівнянь із точками повороту. ІІ. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 6. С. 849–864.
Samusenko P. F. On the Canonical Forms of a Regular Matrix Pencil. Journal of Mathematical Sciences. 2021. Vol. 258. P. 713–721. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05575-0.
Shkil’ N. I., Leifura V.N On the asymptotic solution of the problem of optimal control for systems with slowly varying coefficients. Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR. Ser. A, 1976. No. 7. P. 604–608.
Tarasenko O.V. Approximate Solution of the Problem of Optimal Control for a Singularly Perturbed Differential-Algebraic System. Journal of Mathematical Sciences. 2015. Vol. 205. P. 848–858.
Яковець В.П., Тарасенко О.В. Побудова асимптотичного розв’язку однієї задачі оптимального керування. Нелінійні коливання. 2010. 13. 3. С. 420–436.
Wasow W. Linear Turning Point Theory. New York: Acad. Press, 1985. 246 p.
