МОДЕЛЮВАННЯ ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ МЕТОДОМ ГІБРИДНОГО ІНТЕГРАЛЬНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ ЕЙЛЕРА-БЕССЕЛЯ НА СЕГМЕНТІ

Анотація

На нинішньому етапі науково-технічного прогресу виникає необхідність дослідження фізико-технічних характеристик композитних матеріалів, які дедалі частіше використовуються для виробництва різних деталей. Моделювання фізичних процесів у таких матеріалах, зокрема процесу дифузії, математично призводить до задачі розв’язування сепаратної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку параболічного типу на кусково-однорідному інтервалі з певними початковими та крайовими умовами, оскільки для різних матеріалів фізичні процеси описуються різними диференціальними операторами. Одним із найбільш ефективних методів одержання інтегральних зображень аналітичних розв’язків алгоритмічного характеру таких задач математичної фізики є метод гібридних інтегральних перетворень, який виник у другій половині 20 століття. У цій роботі одержано розв’язок задачі дифузії на двоскладовому сегменті [0;R2] з однією точкою спряження за допомогою гібридного інтегрального перетворення Ейлера-Бесселя. Математичне моделювання дифузійних процесів в двокомпонентних матеріалах математично означає побудувати обмежений розв’язок сепаратної системи двох диференціальних рівнянь з частинними похідними параболічного типу з певними крайовими умовами, початковими умовам та, умовами спряження. Застосувавши до такої крайової задачі побудоване заздалегідь гібридне інтегральне перетворення Ейлера-Бесселя на сегменті, ми одержуємо задачу Коші для звичайного диференціального рівняння. Знайшовши розв’язок задачі Коші, ми застосовуємо до нього обернене гібридне інтегральне перетворення Ейлера-Бесселя. Пряме гібридне інтегральне перетворення Ейлера-Бесселя на сегменті з однією точкою спряження можна записати у вигляді матриці-рядка. Якщо при цьому вихідну систему та початкові умови записати в матричній формі, то, застосовавши до такої задачі операторну матрицю-рядок за правилом множення матриць, ми в результаті отримуємо задачу Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку, яка нескладно розв’язується. Якщо записати обернене гібридне інтегральне перетворення Ейлера-Бесселя у вигляді операторної матриці-стовпця, то, застосувавши його до одержаного розв’язку задачі Коші, після здійснення елементаргих перетворень, ми одержуємо єдиний розв’язок вихідної задачі в аналітичному вигляді. Побудовані розв’язки крайових задач мають алгоритмічний характер, що дозволяє використовувати їх як у теоретичних дослідженнях, так і в числових розрахунках.