СИСТЕМИ КІНЕТИЧНИХ ПОПУЛЯЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

Анотація

Наводиться системний аналіз систем кінетичних популяційних рівнянь, зокрема й Вольтерри та Лотки – Вольтерри. Досліджені популяційні завдання, які необхідно було розв’язати, та короткий їх аналіз. До цих завдань належать демографічні, екологічні й інші проблеми. З понятійного погляду ці завдання розбиваються на два типи: завдання про два види, що їдять одну іжу (рівняння Вольтерри) та завдання хижак – жертва (рівняння Лотки –Вольтерри). Перше завдання зумовлене проблемою розмноження кроликів в Австралії. Окрім того, у тій же популяційній біології постало завдання, коли один вид поїдає інший (хижак і жертва) Це завдання розв’язувалась багатьма дослідниками в галузі біології та медицини, зокрема вірусології. Її частинний розв’язок наведений у книзі А. Лотки, а більш загальний – у лекціях В. Вольтерри. Тому ці рівняння інколи називають рівняннями Лотки – Вольтерри. Як у першому, так і у другому завданні необхідно, щоб було вдосталь ресурсу (їжі) для стаціонарного стабільного існування та розвитку динамічної системи. Нами провендено аналіз проблем, які розв’язуються або які доцільно розв’язувати за допомогою цих методів. Також проаналізовані задачі з неоднорідною часвою ієрархією процесів. Показано, що для розв’язання таких задач доцільно використовувати метод адіабатичного виключення змінних. Цей метод був використаний для розв’язання кінетичних проблем у релаксаційній оптиці. Ці рівняння доцільно використовувати тоді, коли є декілька конкуруючих синфазних процесів. На основі загального аналізу систем рівнянь Вольтерри можна побудувати системні критерії управління та прогнозування відповідних процесів і явищ. Для переходу до просторових задач у системі рівнянь Вольтерри та Лотки – Вольтерри потрібно ввести відповідні коефіцієнти переносу та дифузії. У такому разі ці рівняння можна також розглядати як системи нелінійних рівнянь дифузії. Наводиться випадок дифузійної нестійкості.