SIMULATION OF RECTILINEAR AND FLAT PLACEMENT OF POINTS OF METRIC SPACE
DOI:
https://doi.org/10.32782/KNTU2618-0340/2020.3.2-1.15Keywords:
straight line; plane; angle; metric space; rectilinear placement set of points; angular characteristic; flat placement set of pointsAbstract
The paper deals with the issues of geometric structuring of sets of points of an arbitrary metric space. Methods for constructing rectilinear and flat sets of points of metric space are proposed. Such sets are a generalization of the concepts, respectively, of a straight line and a plane in the classical geometry Euclid. The construction of such sets of points makes it possible to model various geometric images in metric spaces. The concept of rectilinear placement of points is based on the classical concept of 'lie between', which is widely used in modern geometric systems. The work uses the concept of an angle formed by three points of the metric space, and the concept of the angular characteristic of this angle. These concepts are basic for the definition of a flat placement of points in a metric space. In addition, the fact of the rectilinear placement of points can also be obtained using the concepts of angle and its angular characteristic. For establish the fact that the points of the metric space are flat placement, the Jungius formula is used to calculate the volume of a tetrahedron in terms of the length of its lateral edges. The condition for this volume to be zero is a sign of the flat placement of the four vertices of the tetrahedron. The paper uses a modified Jungius formula, in which the volume of a tetrahedron is calculated in terms of the lengths of its three edges emerging from one vertex and the cosines of plane angles at this vertex. Since such calculations are rather laborious, it is proposed to carry out them using the 'Calculator' software tool. With the help of this calculator, you can determine whether there is a tetrahedron with given edges, and if so, calculate the volume of such a tetrahedron. The paper gives examples of rectilinear and flat placement sets of points in different classical metric spaces. In particular, examples of such sets are considered in the space of continuous functions on an segment and in the space of Riemann-integrated functions on an segment. Some examples point to the 'non-Euclidean' concepts of rectilinear and flat placement of points. This allows modeling the basic concepts and properties of non-Euclidean geometries in metric spaces.
References
Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: Физматгиз, 1962. 503 с.
Берже М. Геометрия. Том 1. М.: Мир, 1984. 559 с.
Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2014. 512 с 4. Сабитов И. Х. Московское математическое общество и метрическая геометрия: от Петерсона до современных исследований. Труды Московского математического общества. 2016. Том 77. Вып. 2. С. 185−218.
Довгошей А. А., Дордовский Д. В. Отношение лежать между и изометрические вложения метрических пространств. Укр. мат. журн. 2009. № 10(61). С. 1319−1328.
Галущак С. І. Деякі геометричні криві у сенсі d-відрізка. Прикарпатський вісникНТШ. Число. 2016. № 1(33). С. 157−166.
Кузьмич В. І. Геометричні властивості метричних просторів. Укр. мат. журн.2019. № 3(71). С. 382–399. DOI: 10.1007/s11253-019-01656-1
Kuzʹmych, V. I., Savchenko A. G. Geometric Relations in an Arbitrary Metric Space. Matematychni Studii. 2019. № 1(52). С. 86−95. DOI: 10.30970/ms.52.1.76-85
Savchenko A., Zarichnyi M. Metrization of Free Groups on Ultrametric Spaces. Topol. and Аppl. 2010. № 4(157). С. 724–729. https://doi.org/10.1016/j.topol.2009.08.015
Savchenko O. A Remark on Stationary Fuzzy Metric Spaces. Carpathian Mathematical Publications. 2011. № 1(3). С. 124–129. http://journals.pu.if.ua/index.php/cmp/article/view/85
Savchenko A. Fuzzy hyperspace monad. Matematychni Studii. 2010. № 2(33). С. 192–198. URL: http://matstud.org.ua/texts/2010/33_2/192-198.pdf
Savchenko A., Zarichnyi M. Probability Measure Monad on the Category of Fuzzy Ultrametric Spaces. Azerb. J. Math. 2011. № 1(1). 114–121.
https://www.azjm.org/volumes/0101/0101-6.pdf
Kiosak V., Savchenko A., Zarichnyi M. Strong topology on the set of persistencediagrams. AIP Conference Proceedings. 2019. № 1(2164). С. 040006-1–040006-4. DOI:10.1063/1.5130798
Колмогоров А. М., Фомін С. В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. Київ: Вища школа, 1974. 456 с.
Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М.: Издательство Московского университета, 1963. 571 с.
Кузьмич В., Кузьмич Л. Побудова прямолінійно розміщених множин при вивченні метричних просторів. Науковий вісник Східноєвропейського національного університету імені Лесі Українки. Серія: Педагогічні науки. 2018. № 9(382). С. 30−36.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 2: Стереометрия, преобразования пространства. М.: МЦНМО, 2006. 256 с.
Кузьмич В. І., Кузьмич Ю. В. Аналоги формули Юнгіуса об’єму тетраедра. Вісник Черкаського університету. Серія: Педагогічні науки. 2012. № 36(249). С. 55−64.
Kuzmich V. I., Kuzmich Y. V. Software Tool for Calculating the Volume of the Tetrahedron on the Lengths of its Edges. Інформаційні технології в освіті. Херсон: Видавництво Херсонського державного університету. 2012. Вип. 12. С. 67−72.
Кузьмич В. І. Побудова плоских образів у довільному метричному просторі. Вісник Черкаського університету. Серія: Педагогічні науки. 2017. № 11. С. 40–46.
Кузьмич В. І. Кутова характеристика у метричному просторі. Algebraic andGeometric Methods of Analysis: International Scientific Conference: book of abstracts. (Ukraine, Odessa, May 31 – June 5, 2017). Odessa, 2017. С. 11–12.
URL: https://www.imath.kiev.ua/~topology/conf/agma2017/agma2017_abstracts.pdf
Кузьмич В. І. Плоско розміщені множини точок у метричному просторі. Вісник
Львівського університету. Серія: механіко-математична. 2017. Вип. 83. С. 58–71.
