МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПОРОЖНИСТОГО ВАЛКА ПРОКАТНОГО СТАНУ З РІЗНИМИ УМОВАМИ ТЕПЛООБМІНУ НА ПОВЕРХНІ

Анотація

У роботі розглядається математична модель радіаційно-конвективного теплообміну, що виникає під час термічної обробки або пластичної деформації між валком прокатного стану та металом, що розігрівається. Розглядається температурне поле порожнистого валка циліндричної форми, що обертається навколо своєї осі із сталою кутовою швидкістю та розігрівається від металу, який має сталу температуру у зоні контакту. За межами зони контакту з металом валок віддає тепло в оточуюче їх середовище. Побудована фізична модель процесу теплообміну у якій розглянуто термічно тонкий порожнистий циліндр, температурне поле якого слабо залежить від радіуса циліндра. Джерелом тепла, що розігріває тіло валка, є рухома стрічка, яка передає тепло зовнішній поверхні валка. Математична модель розглядається у вигляді крайової задачі для однорідного рівняння теплопровідності з нелінійними граничними умовами у циліндричній системі координат. У початковий момент часу на бічній поверхні та на основах валки мають сталу початкову температуру. На поверхні у зоні контакту температура валка дорівнює температурі металу, що обробляється, а на іншій частині поверхні валка відбувається теплообмін з оточуючим середовищем за законом Стефана-Больцмана. Показано, що при великій кількості обертів валка функція температури поверхні стає періодичною з періодом обертання валка навколо своєї осі, температурне поле стабілізується. Розглядається спрощена математична модель температурного поля радіального перерізу валка. При такому спрощенні у рівнянні теплопровідності похідна за осьовою координатою зникає. Запропоновано метод та алгоритм розв’язання задачі. Вони включають у себе розгляд усередненої за радіусом температури валка прокатного стану. Для знаходження температурного розподілу розв’язання крайової задачі зведено до розв’язання еквівалентного їй нелінійного інтегрального рівняння типу Гаммерштейна з ядром у вигляді функції Гріна. Функція Гріна побудована у вигляді тригонометричного ряду з коефіцієнтами – функціями Бесселя першого роду n-го порядку, що є розв’язком власної спектральної задачі з параметром. В якості спрощення розглянуто тонкий у термічному відношенні порожнистий циліндр, температурне поле якого слабо залежить від радіуса, та здійснено перехід до розгляду усередненої температури по радіусу. Розглянуто термодинамічний стан, що встановлюється через деякий час після початку процессу, в результаті чого функція Гріна стає періодичною за кутовою координатою та за часом.