МОДЕЛЮВАННЯ ОБЧИСЛЮВАЛЬНИХ 2D-ШАБЛОНІВ ТА КУБАТУР ЯК ЗАДАЧІ СИСТЕМНОГО АНАЛІЗУ
DOI:
https://doi.org/10.32782/KNTU2618-0340/2021.4.2.2.19Ключові слова:
системи обчислювальних шаблонів, системи кубатур, квазіметод Монте-Карло, псевдовипадкові числа, стратифікована вибірка, оптимізація оцінкиАнотація
Численне інтегрування стає все більш важливою процедурою в сучасному методі скінченних елементів (МСЕ). Зрозуміло, що переважна більшість відомих кубатур асоціюється з трикутниками і квадратами. На жаль, не всі кубатури придатні для практичного використання. Наприклад, є кубатури з від’ємними ваговими коефіцієнтами. На думку сучасних американських математиків Г. Стренга і Дж. Фікса, проблема конструювання кубатур навіть на трикутних та квадратних шаблонах лишається актуальною. Щоб отримати нові кубатури, використовуються псевдовипадкові числа і квазіметод Монте-Карло. На зразок відомих систем трикутних і квадратних чисел Піфагора у 50-ті роки двадцятого століття в МСЕ виникли системи трикутних і квадратних обчислювальних шаблонів та відповідних кубатур. Особливість системного аналізу полягає в тому, що на одному шаблоні може існувати декілька альтернативних кубатур в межах закону збереження вагового балансу. В цих випадках постає проблема сегментного тестування нових базисів (на сумісність). Зусилля, що затрачені на стратифікацію вибірки, обертаються покращенням якості оцінки. У роботі розглядаються системи обчислювальних 2D-шаблонів, які утворені на зразок арифметичних систем і геометрії трикутних і квадратних чисел Піфагора. Мета дослідження – на прикладах обчислювальних 2D-шаблонів і випадкових кубатур проілюструвати можливості і переваги процедури стратифікації вибіркових аплікат, підкреслити важливу роль центрованих моделей (з вузлом інтегрування в барицентрі трикутника, квадрата). В результаті дослідження з’ясувалося: якщо зафіксовано кількість вузлів інтегрування та їх розташування, то необхідно з’ясувати, яким критерієм скористатися для визначення коефіцієнтів лінійної комбінації аплікат. В системі альтернативних кубатур жоден із критеріїв стратифікації не має помітної переваги над іншими. Для кожного критерію можна підібрати приклад, в якому він буде кращим. Щоб знайти найбільш ефективну кубатуру для конкретної задачі потрібен спеціальний аналіз.
Посилання
Яглом И.М. Математика и реальный мир. М.: Знание, 1978. 64 с.
Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. 416 с.
Zienkiewicz O. C. The Finite Element Method in Engineering Science. London: McGraw-Hill, 1971. 571 p.
Segerlind L.J., Applied Finite Element Analysis. New York‐London‐Sydney‐Toronto, John Wiley & Sons. 1976. 422 p.
Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. 296 с.
Соболь И.М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1985. 80 с.
Хомченко А. Н., Литвиненко О.І., Астіоненко І.О. Нестандартна модель трикутного скінченного елемента Т7. Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. Випуск 5 (130). Дніпро, 2020. С. 37-46. DOI: 10.34185/1562-9945-5-130-2020-05
Strang G., Fix G. J. An Analysis of the Finite Element Method. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc. 1973.
Литвиненко Е.И. Математические модели и алгоритмы компьютерной диагностики физических полей: дис. … кандидата техн. наук: 05.13.06. Херсон, 1999. 172 с.
Astionenko I.O, Litvinenko O.I., Osipova N.V., Tuluchenko G.Ya., Khomchenko A.N. Cognitive-graphic Method for Constructing of Hierarchical Form of Basic Functions of Biquadratic Finite Element. AIP Conference Proceedings Report. 2016. V. 1773, No 1, 040002-1 – 040002-11. DOI: 10.1063/1.4964965.
Хомченко А. Н., Литвиненко О.І., Астіоненко І.О. “Дута” мода як когнітивна модель побудови трикутника третього порядку. Прикладні питання математичного моделювання. 2019. Т. 2, № 2. С. 110-117. DOI: 10.32782/2618-
/2019.2-2.10