ГЕОМЕТРИЧНІ ГІПОТЕЗИ І ФІЗИЧНА НЕАДЕКВАТНІСТЬ СЕРЕНДИПОВИХ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ

Анотація

Фізичною неадекватністю стандартних серендипових скінченних елементів (СЕ) називають “парадокс гравітаційного відштовхування”, тобто від’ємні вузлові навантаження від рівномірної масової сили. Першим на цю особливість звернув увагу сам професор О. Зенкевич, який разом із Ергатудісом і Айронсом відкрив серендипові СЕ. Він був переконаний, що цей недолік усунути неможливо. До такого висновку схиляється більшість фахівців, які використовують матричний метод побудови базисних функцій. Аналізуючи нематричний метод Тейлора, можна знайти причини виникнення від’ємних навантажень в кутових вузлах СЕ. Це своєрідна “помста” математичної моделі за ідеалізацію. В стандартному алгоритмі Тейлора закладені геометричні гіпотези формоутворення лінійчатих проміжних (некутових) базисних поверхонь. В тих випадках, коли необхідне узгодження між геометричними гіпотезами і фізичною адекватністю моделей серендипових СЕ, краще відмовитись від матричного аналізу. Важливо знайти конструктивний спосіб зменшити середню аплікату проміжних базисних поверхонь. Такі поверхні у рамках інтерполяційної гіпотези Лагранжа придатні для метода Тейлора і можуть успішно замінити традиційні коноїди. Можна зберегти коноїди, якщо звернутися до тригонометричних напрямних. Популярність тригонометричних базисів в МСЕ зростає, а потенціал елегантного метода Тейлора ще не вичерпано. Стосовно кубатури Q12 треба відзначити, що вона ефективна і дає точні результати, навіть коли «працюють» лише чотири (або три) вузли із дванадцяти. Ми пропонуємо замість лінійчатих поверхонь (коноїдів) з нульовою кривиною Гаусса подвійно опуклі поверхні з від’ємною кривиною. Ефективність такої модифікації метода Тейлора ілюструють приклади серендипових СЕ: Q8 (біквадратичний), Q12 (бікубічний) та мішаний Q10 (квадратично-кубічний). Наведено базиси альтернативних СЕ та інтегральні і локальні характеристики нових моделей.