ВІДНОВЛЕННЯ ВНУТРІШНЬОЇ СТРУКТУРИ ДИНАМІЧНОГО ТРИВИМІРНОГО ТІЛА З ВИКОРИСТАННЯМ МІШАНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ
DOI:
https://doi.org/10.32782/KNTU2618-0340/2021.4.1.19Ключові слова:
інтерфлетація функцій, комп’ютерна томографія, томограма, мішана апроксимація, поліном БернштейнаАнотація
Робота присвячена задачі вiдновлення внутрiшньої структури тривимiрного тiла за допомогою iнформацiї про неї у виглядi томограм, що заданi на деякiй системi площин, якi перетинають об’єкт дослiдження. Ця задача виникає на практицi в тих випадках, коли серед площин, якi входять в експериментальнi данi, немає площини, що складається з того чи iншого набору точок, якi цiкавлять дослiдника. Наприклад, така задача може виникнути пiсля того, як пацiєнт пройшов дослiдження на медичному томографi. Пiсля аналiзу отриманих томограм виникає необхiднiсть знайти за їх допомогою ще одну чи декiлька томограм в площинах, якi перетинають тiло та не спiвпадають нi з жодною iз заданих площин. В статті зазначається, що оператори інтерфлетації функцій є природнім узагальненням операторів інтерполяції функцій трьох змінних. Ці оператори відновлюють функції (можливо, наближено) за відомими їх слідами на заданій системі площин. Саме такі експериментальні дані використовуються в дистанційних методах, зокрема в комп’ютерній томографії. Отже, інтерфлетація – математичний апарат, природно пов'язаний із задачею відновлення характеристик об'єктів за їх відомими проекціями. Як і у випадку інтерполяції, похибки в експериментальних даних (в даному випадку, в томограмах) привносяться також і в оператори інтерфлетації. В математиці існує альтернатива операторам інтерполяції – оператори апроксимації. Це оператори, що побудовані шляхом згладжування експериментальних даних за допомогою поліномів, раціональних функцій, тригонометричних поліномів, вейвлетів тощо. Будується оператор мішаної апроксимації функції трьох змінних за допомогою поліномів Бернштейна; наводиться загальний вигляд похибки наближення побудованим оператором та оцінка цієї похибки. Також в роботі будується та досліджується чотиривимірна математична модель тривимірного тіла, що змінюється з часом. Наводиться обчислювальний експеримент з відновлення внутрішньої структури рухомого серця людини за томограмами, що лежать на системі взаємно перпендикулярних площин, які поступають з реально діючого комп’ютерного томографа.
Посилання
Литвин О.М., Першина Ю.І. Математична модель відновлення внутрішньої структури тривимірного об’єкта за відомими його томограмами з використанням інтерфлетації функцій. Доповіді НАНУ. 2005. №1. С. 20-24.
Radon J. Über die Bestimmung von Functionen durch ihre Integralverte Längs gewisser Manningfaltigkeiten. Ber. Verh. Sächs. Acad. Wiss. Leipzig Math. Nat. Kl. 1917. Vol. 69. Р. 262 – 277.
Першина Ю. И., Шилін О. В. Чисельна реалізація методу відновлення внутрішньої структури 3D тіла за відомими її томограмами на системі довільних площин з використанням інтерфлетації функцій. Вісник НТУ «ХПІ». Збірник наукових праць.
Серія : Математичне моделювання в техніці та технологіях. Харків: НТУ «ХПІ», 2017. № 6 (1228). С. 105 –111.
Литвин О.М., Першина Ю.І. Математичне моделювання в комп’ютерній томографії з використанням мішаної апроксимації. Матеріали другої міжнародної конференції «Теорія та методи обробки сигналів». 2008. С. 85–86.
Литвин О.М., Першина Ю.І. Математична модель відновлення тривимірних об’єктів за їх томограмами на системі трьох груп перерізаних площин з використанням інтерфлетації функції. Доповіді НАНУ. 2005. №8. С. 67-71.
Jia X., Lou Y., Dong B. 4D Computed Tomography Reconstruction from Few-Projection Data via Temporal Non-local Regularization. Medical Image Computing and ComputerAssisted Intervention: proceedings of the conference. Part I. 2010. Р. 143 – 150.
Литвин О.Н., Першина Ю.И., Сергиенко И.В. Восстановление разрывных функцийдвух переменных, когда линии разрыва неизвестны (прямоугольные элементы). Кибернетика и системный анализ. 2014. № 4. С. 126–134.
