КЛАСИФІКАЦІЯ КРИВИХ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ЗА ІХ ПРООБРАЗАМИ ПРИ СТЕРЕОГРАФІЧНІЙ ПРОЕКЦІЇ

Анотація

Із аналітичної геометрії відомі афінна та метрична класифікації кривих другого порядку. Той чи інший клас кривих характеризується певним набором інваріантів. В даній статті пропонується спосіб визначення класу кривої другого порядку за її прообразом в стереографічній проекції. Саме поняття стереографічної проекції доволі часто використовується в різних областях математики, а також в астрономії і географії. Відомо, що образами кіл при стереографічній проекції завжди є або кола, або прямі лінії. Метою даної статті є отримання критеріїв, які дозволять визначити тип кривої другого порядку, якщо відомий її прообраз на сфері при стереографічній проекції. В статті отримані формули прямого та оберненого стереографічного відображення. Показано, що прообраз кривої другого порядку на сфері можна задати системою алгебраїчних рівнянь. Одним з рівнянь в цій системі є рівняння сфери, а ліва частина другого рівняння - це однорідний многочлен. Застосовано властивості стереографічної проекції сфери на площину для формулювання і доведення теореми про особливості розташування точок прообразів кривих другого порядку. Сформульовано критерій, який дозволяє за відомим прообразом невиродженої кривої другого порядку на сфері визначити тип цієї кривої. Аналогічний критерій сформульовано для вироджених кривих другого порядку. При отриманні і доведенні цих критеріїв істотно використовувався той факт, що коефіцієнти в рівнянні кривої другого порядку і коефіцієнти в рівнянні, що задає прообраз цієї кривої, однакові. Тому тип образу можна визначити, не переходячи до його рівняння, а використовуючи тільки рівняння прообразу. Для цього треба використовувати інваріанти кривих другого порядку. В статті наведені приклади, які ілюструють роботу критеріїв.