«ДУТА» МОДА ЯК КОГНІТИВНА МОДЕЛЬ ПОБУДОВИ ТРИКУТНИКА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ
DOI:
https://doi.org/10.32782/2618-0340/2019.2-2.10Ключові слова:
скінченний елемент третього порядку, «дута» мода, метод перерізів поверхні, когнітивно-графічний аналіз, поліноми Ерміта-Кунса, квадратури Гаусса, задача Прандтля про кручення стержнівАнотація
Трикутники відіграють надзвичайно важливу роль в методі скінченних елементів (МСЕ). Робота присвячена дослідженню маловідомих властивостей «дутої» моди – внутрішньої функції десятипараметричного базису поліноміальної інтерполяції трикутного скінченного елемента. «Дуті» моди − це моди, які мають відмінні від нуля амплітуди всередині елемента і амплітуди, що дорівнюють нулю на його сторонах. У методі скінченних елементів внутрішні вузли є небажаними, тому їх виключають разом із відповідними функціями форми. Перший метод виключення наведений у монографії Р. Галлагера і полягає у процедурі конденсації стосовно матриці жорсткості елемента. Другий метод – це безпосередня модифікація функцій форми таким чином, щоб виключити степені вільності, пов’язані з внутрішніми вузлами. Е. Мітчелл наводить приклади виключення внутрішніх вузлів на комплексах і мультиплексах. На трикутному елементі третього порядку десятий вузол в барицентрі усувають, як правило, за «рецептом» Сьярле-Равьяра. В результаті конденсації (редукції) «дута» мода лишається поза увагою дослідників і не використовується в практичних розрахунках. Ми розглядаємо «дуту» моду як самостійну математичну модель і шляхом когнітивно-графічного аналізу виявляємо маловідомі особливості формоутворення поверхні і корисні аналогії. Доведено існування зв’язків «дутої» моди з поліномами Ерміта-Кунса, квадратурами Гаусса (версія Бернуллі та версія Лежандра), задачею Прандтля про кручення призматичних стержнів. У даній роботі внутрішня мода трикутного скінченного елемента третього порядку, як і решта функцій базису, вперше використовувалась для реалізації поліноміальної інтерполяції функцій двох аргументів в умовах гіпотези Лагранжа. Когнітивно-графічний аналіз поверхні «дутої» моди дозволив більш глибоко проаналізувати всі властивості цієї моделі і відкрив потенціал для створення нових базисів і оптимізації існуючих. Ми маємо чергове підтвердження відомого факту: математика завжди дає більше, ніж від неї очікують. Немає сумніву, що «дута» мода – це яскравий приклад когнітивної моделі.
Посилання
Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.
Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. 216 с.
Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.
Норри Д. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. 304 с.
Немчинов Ю. И. Расчет пространственных конструкций (метод конечных элементов): монография. К.: Будівельник, 1980. 231 с.
Деклу Ж. Метод конечных элементов: монография. М.: Мир, 1976. 95 с.
Стренг Г. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 350 с.
Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы: монография. М.: Стройиздат, 1983. 488 с.
Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений: монография. / Городецкий А.С., Заворицкий В.И., Лантух-Лященко А.И., Рассказов А.О. М.: Транспорт, 1981. 143 с.
Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам: монография. М.: Стройиздат, 1977. 132 с.
Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.
Wachspress E. I. A rational finite element basis. New York: Academic Press, 1975. 344 p.
Хомченко А. Н., Козуб Н. А. Интерполяция по Кунсу и геометрическая вероятность. Проблеми інформаційних технологій. 2009. Вип. 5. С. 145–148.
Астионенко И. А., Литвиненко Е. И., Хомченко А. Н. Когнитивно-графический анализ кривых Эрмита-Кунса 5-го порядка. Системні технології. 2016. Вип. 3 (104) С. 73–78.
Хомченко А. Н., Литвиненко О. І., Астіоненко І. О. Коноїди Ерміта-Кунса та їх властивості. Вісник Херсонського національного технічного університету. 2018.Вип. 3 (66). Т.1. С.193–198.
Astionenko, I. O, Litvinenko, O. I., Osipova, N. V., Tuluchenko, G. Ya., & Khomchenko, A. N. (2016). Cognitive-graphic Method for Constructing of Hierarchical Form of Basic Functions of Biquadratic Finite Element. AIP Conference Proceedings Report. 1773, 1, 040002-1 – 040002-11. DOI: 10.1063/1.4964965.
Хомченко А. Н., Литвиненко О. І., Астіоненко І. О. Фізично адекватна конденсація і мішані моделі серендипових елементів. Прикладні питання математичного моделювання. 2019. Т. 2. № 1. С. 141–148. DOI: https://doi.org/10.32782/2618-0340-2019-3-12
