НАБЛИЖЕНИЙ МЕТОД МАКСИМАЛЬНОЇ ВІРОГІДНОСТІ ДЛЯ ОЦІНЮВАННЯ ДВОПОРОГОВОГО ПРОЦЕСУ ОРНШТЕЙНА-УЛЕНБЕКА

Анотація

Дворежимний двопороговий процес дає змогу моделювати складні системи, в яких динаміка змінюється за досягнення порогових рівнів. У роботі для оцінки параметрів дворежимного двопорогового дифузійного процесу з дискретно відібраними даними запропоновано наближений метод максимальної правдоподібності, заснований на апроксимації логарифмічної функції правдоподібності спостережень. Логарифмічна форма функції правдоподібності покращує стабільність обчислень, що особливо важливо для порогових моделей з великою кількістю параметрів. Дискретна модель побудована на підставі процесу Орнштейна-Уленбека, заданого відповідним стохастичним диференціальним рівнянням та подальшою його дискретизацією за схемою Ейлера, яка є простою в реалізації та забезпечує необхідну точність під час вибору оптимального кроку часу. Процес Орншейна-Уленбека є зручним і поширеним у різноманітних застосуваннях, оскільки є гауссовим, для нього зручно виписується умова стаціонарності, що уможливлює працю з даними у вигляді часового ряду. Диференціюючи функцію правдодподібності за кожним параметром, отримуємо низку співвідношень для визначення оцінок параметрів зсуву, дифузії та порогів. Досліджуваний двопороговий процес поводиться по-різному за значень нижче першого порогу, між порогами та вище другого. У кожному з цих інтервалів процес може мати різну поведінку параметрів. У практичних умовах важливо знайти якомога кращі оцінки для параметрів зсуву, дифузії та порогів, оскільки точність їх визначення впливає на здатність моделі коректно описувати динаміку процесу. У роботі також запропоновано обчислювальний алгоритм для моделі з двома порогами. Модель ділить спостереження на кілька діапазонів відповідно до порогів r1 та r2. Кожен з цих діапазонів описується своїми параметрами, що дає змогу враховувати різну поведінку процесу у кожному з цих інтервалів. В межах кожного діапазону обчислюється функція правдоподібності, яка відображає ймовірність отримання спостережуваних даних за умови правильності параметрів у кожному з діапазонів. Цей підхід надає моделі гнучкості для аналізу складних стохастичних процесів із пороговими ефектами, зокрема для фінансових ринків, де зміни ціни активу можуть значно залежати від досягнення визначених порогів, що відповідає ринковим стратегіям.