ДОСЛІДЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ КОНТАКТУ ПРУЖНИХ ПІВПРОСТОРІВ ТА КІЛЬЦЕВОГО ШТАМПА З ПОЧАТКОВИМИ НАПРУЖЕННЯМИ

Анотація

Представлено дослідження математичної моделі контакту двох попередньо напружених півпросторів, які тиснуть на пружний кільцевий циліндр з початковими напруженнями. Зроблено припущення про те, що поверхні поза межею контакту залишаються вільними від впливу зовнішніх сил, а на межі контакту переміщення та напруження – неперервні. Дослідження виконано у загальному вигляді для стисливих (нестисливих) тіл для теорії великих (кінцевих) початкових деформацій та двох варіантів теорії малих початкових деформацій за довільної структури пружного потенціалу з використанням співвідношень лінеаризованої теорії пружності без урахування сил тертя. Припускаємо, що початкові стани пружного циліндричного штампа та пружних основ (півпросторів) однорідні та рівні. Дослідження проводиться в координатах початкового деформованого стану, які пов’язані з лагранжевими координатами (природного стану). Крім того, вплив циліндричного штампа викликає невеликі збурення відповідних величин основного напружено-деформованого стану. Задача розв’язана для випадку рівних коренів характеристичного рівняння та сформульована у вигляді розв’язку потрійних інтегральних рівнянь. Вони зводяться до одного інтегрального рівняння способом підстановки. Оскільки задача вісесиметрична, ядро інтегрального рівняння залежить від добутку трьох функцій Бесселя. Для розв’язку була використана формула, що представляє добуток двох функцій Бесселя у ряд. Це дало змогу звести задачу до функціонального рівняння. Воно пов’язує переміщення штампа з невідомими коефіцієнтами розподілу контактних напружень. В свою чергу, отримане функціональне рівняння було зведено до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Цю систему розв’язуємо методом редукції (утинання). Під час дії навантаження на кільцевий штамп розподіл контактних напружень знаходимо у вигляді ряду добутків приєднаних функцій Лежандра. Числовий аналіз представлено графічно для випадку гармонічного потенціалу. Важливо відзначити, що врахування початкових (залишкових) напружень в межах лінеаризованої теорії пружності істотно змінює постановку та значно ускладнює розв’язання контактної задачі. Запропонований у статті метод дав змогу виявити вплив початкових напружень на контактні характеристики тіл, а також посприяти підвищенню надійності та довговічності інженерних споруд та конструкцій.