ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНОГО РІВНЯННЯ В РОЗВ’ЯЗАННІ ОДНІЄЇ НЕЛІНІЙНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ

Анотація

У роботі розглядається математична модель температурного поля ізотропної сферичної області (кулі), що обертається навколо однієї з осей симетрії з постійною швидкістю, як початково-крайова задача для рівняння параболічного типу з нелінійними крайовими умовами. Метою дослідження є застосування інтегрального рівняння до розв’язку нелінійної початково-крайової задачі у сферичній області та визначення умови термодинамічної рівноваги за необмеженого числа обертів кулі. Такий розв’язок дозволяє отримати розподіл температури як на поверхні кулі так і всередині, а також умову її термодинамічної рівноваги. Розглядається періодична нелінійна початково-крайова задача за однією із просторових координат, яка зводиться до розв’язання нелінійного інтегрального рівняння. Отримане інтегральне рівняння за допомогою другої формули Гріна зводиться до рівняння типу Фредгольма за просторовою координатою і типу Вольтерри за часом. Ядро інтегрального рівняння знайдене у вигляді функції Гріна. Функція Гріна побудована з використанням властивостей оператора Лапласа у сферичній системі координат, а також функцій Лежандра та Бесселя напівцілого порядку. Лінійну частину функції розв’язку задачі як усередині кулі, так і на її поверхні було знайдено з використанням властивостей гамма-функції. Для визначення умов термодинамічної рівноваги кулі за необмеженої кількості її обертів навколо своєї осі було застосовано граничний перехід, у результаті чого визначені умови термодинамічної рівноваги. Розв’язок нелінійної частини задачі для визначення періодичного квазістаціонарного температурного поля було отримано за допомогою розв’язку відповідного їй нелінійного інтегрального рівняння типу Гаммерштейна. Також було доведено, що розв’язок вихідної задачі, періодичної як за часом, так і за просторовою координатою, не залежить від початкової умови. Ця умова не впливає на квазістаціонарне температурне поле кулі за необмеженого числа її обертів.