РЕГУЛЯРИЗАЦІЯ І ФАКТОРИЗАЦІЯ ПОЛІНОМНИХ МАТРИЦЬ ЛОРАНА
DOI:
https://doi.org/10.35546/kntu2078-4481.2023.1.4Ключові слова:
регулярна поліноміальна матриця Лорана, верхній і нижній степінь поліноміальної матриці Лорана, регуляризація і факторизація поліноміальної матриці Лорана, канонічна форма Сміта, значення матриці на системі коренів діагональних елементів, матричне рівнянняАнотація
За останні десятиріччя поліноміальні матриці Лорана та їхні факторизації мають багато потенційних застосувань в галузі систем керування та автоматичного керування, теорії керованих систем скінченного стану, теорії відтворення образів і теорії пристроїв передачі даних. Ці матриці використовуються для опису згорткового процесу змішування, який відбувається, наприклад, коли набір сигналів надходить до масиву датчиків за кількома трактами. Вивчення факторизацій поліноміальних матриць Лорана є актуальним, і застосовується у багатоканальній обробці сигналів. Ефективні алгебраїчні алгоритми, які базуються на елементарних перетвореннях поліноміальних матриць Лорана та їх факторизаціях, дозволяють здійснити повний аналіз динаміки системи. Багато задач в області цифрової обробки сигналів і зв’язку можна перетворити також на алгебраїчні задачі поліноміальних кілець Лорана, і вони можуть бути розв’язані за допомогою існуючих алгебраїчних методів. У статті розглянуто задачу про регуляризацію поліноміальних матриць Лорана та отримано необхідні і достатні умови регуляризації таких матриць. Цей результат використовується для дослідження питання факторизації поліноміальних матриць над кільцем Лорана. Отримано критерій факторизації поліноміальних матриць над кільцем Лорана із регулярним множником з наперед заданою формою Сміта. Запропоновано метод побудови регуляризації і факторизації матриць над поліноміальним кільцем Лорана і наведено приклади регуляризації і факторизації матриць над кільцем Лорана.
Посилання
Казімірський П.С. Розклад матричних многочленів на множники. Львів: Інститут прикл. проблем механіки і матем. імені Я.С. Підстригача НАН України, 2015. 285 с.
Казімірський П.С., Петричкович В.М. Про еквівалентність поліноміальних матриць // Теорет. та прикл. питання алгебри і диференц. рівнянь. 1977. С. 61 – 66.
Петричкович В.М. О полускалярной эквивалентности и нормальной форме Смита многочленных матриць// Мат. методи та фіз.-мех. поля. 1987. 25. С. 13–16.
Petrychkovych V. Generalized equivalence of pair of matrices // Linear Multilinear Algebra, 2000. 48. P. 179–188.
Petrychkovych V. Standart form of pair of matrices with respect to generalized equivalence // Visnyk Lviv. Univ. 2003. 61. P. 153–160.
Kuchma М.I., Gatalevych A.I. Triangular form of Laurent polynomial matrices and their factorization // Mathematical modelling and computing, 2022. 9. No. 1, P. 119-129.
Кучма М.І. Симетрична еквівалентність матричних многочленів і виділення спільного унітального дільника із матричних многочленів // Укр. матем. журн. 2001. Т. 53. № 2. С. 211-219.
Dias da Silva J.A., Laffey T. J. On simultaneous similarity of matrices and related questions// Linear Algebra Appl. 1999, 291. P. 167–184.
Казимирський П. С., Щедрик В. П. О решениях матричных многочленных односторонних уравнений // Доклади АН СССР. 1989. 304, № 2. с. 271–274.
Shchedryk V. Arithmetic of matrices over rings. Kyiv, Akademperiodyka, 2021. 278 p.
Зеліско В.Р. Єдиність унітальних дільників матричних многочленів // Вісник львівськ. унів-ту. 1988. 30. С. 36–38.
Fornasini E., Valcher M.-E. nD-Polynomial Matrices with Applications to Multidimensional Signal Analysis // Multidimensional Systems and Signal Processing. 1997. 8(4). P. 387–408.
Foster J.A., McWhirter J.G., Davies M.R., Chambers J.A. An algorithm for calculating the QR and singular value decompositions of polynomial matrices // IEEE Trans. Signal Process. 2010. 58(3). P. 1263–1274.
Park H. Symbolic computation and signal processing, Journal of Symbolic Computation // 2004. 37. P. 209–226.
Kaczorek T. Polynomial and Rational Matrices: Applications in Dynamical System. Theory, Commun. and Control Eng. Ser. London (UK). 2007.
