ФОРМОУТВОРЕННЯ СФЕРИЧНИХ ЕПІЦИКЛОЇД ПРИ ОБКОЧУВАННІ РУХОМОГО КОНУСА ПО НЕРУХОМОМУ

Анотація

Багато плоских кривих мають сферичні аналоги. Їх об’єднують однакові способи утворення. Одним із таких прикладів є утворення поверхні евольвентного зубчастого зачеплення. Для циліндричної передачі утворення поверхні зубця відбувається слідом прямолінійної твірної циліндра, який котиться по площині. Ортогональним перерізом такої поверхні є евольвента кола. Для конічної передачі утворення поверхні зубця відбувається слідом прямолінійної твірної конуса, який теж котиться по площині. При такому коченні вершина конуса є нерухомою, а його основа – коло – утворює множину плоских перерізів сфери з центром у вершині конуса. При коченні конуса його основа всіма своїми точками лежить на сфері, отже нерухома точка кола опише сферичну криву – аналог евольвенти кола на площині. Цю криву можна отримати як результат перетину сфери із конічною поверхнею, яку утворює прямолінійна пряма конуса, що котиться по площині. Таким чином, утворення плоскої і сферичної евольвент подібне, при чому в одному випадку по площині котиться циліндр, а у другому – конус. Існує також сферичний еліпс, утворення якого подібне до утворення еліпса на площині. В обох випадках це є множина точок, сума відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала. Відмінність полягає в тому, що в одному випадку відстані вимірюються відрізками прямих, а в іншому – дугами кіл, радіус яких дорівнює радіусу сфери. За аналогією можна побудувати сферичні аналоги циклоїди, гіпо- і епіциклоїди. Епіциклоїда утворюється слідом нерухомої точки рухомого кола при його зовнішньому перекочуванні по нерухомому колу. Відповідно для утворення сферичного аналогу епіциклоїди потрібно розглядати зовнішнє перекочування рухомого конуса по нерухомому. В статті здійснено аналітичний опис такого перекочування, який ґрунтується на тому, що основи конусів, які є колами, розташовані на поверхні сфери. За аналогією кочення кіл одне по одному у площині реалізовано кочення кіл одне по одному на поверхні сфери. Отримано параметричні рівняння сферичної епіциклоїди при такому перекочуванні. В частковому випадку, коли нерухомий конус має кут при вершині, рівний 180°, тобто перетворюється у площину, сферичною кривою є аналог циклоїди на площині. Здійснено візуалізацію отриманих результатів засобами комп’ютерної графіки.