НЕЙРОМЕРЕЖЕВІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ПРУЖНОСТІ
DOI:
https://doi.org/10.35546/kntu2078-4481.2024.1.41Ключові слова:
чисельні методи, нейронні мережі, диференціальні рівняння, апроксимаціяАнотація
Значущість розвитку наближених методів у вирішенні диференціальних рівнянь визначається їх широким застосуванням у ключових галузях науки та техніки. Оскільки багато фізичних та інженерних явищ можна математично описати диференціальними рівняннями, але знаходження їх аналітичних розв'язків часто є складним завданням, чисельні методи для наближеного розв'язання стають критично важливими. Ці методи необхідні для комп'ютерного моделювання та симуляції складних технічних систем. Ураховуючи різноманітність диференціальних рівнянь, наближені методи виступають універсальним інструментом, придатним для вирішення важливих завдань у різних галузях, і дозволяють краще враховувати вимоги сучасних обчислювальних технологій. Використання нейронних мереж для наближеного розв'язання диференціальних рівнянь є перспективним напрямком у галузі наукового моделювання. Інноваційний підхід полягає включенні в мережу фізичної інформації у вигляді складної функції втрат, що поєднує традиційні методи розв'язання фізичних задач із передовими техніками глибокого навчання. У такому підході нейронна мережа, призначена для апроксимації функцій, отримує на вхід не лише вхідні дані, але й фізичну інформацію про систему чи процес, яку вона моделює. Цю фізичну інформацію можна включити у вигляді додаткових параметрів, обмежень чи рівнянь. Складна функція втрат враховує якість апроксимації нейронною мережею, а також фізичні принципи задачі. Це дозволяє нейронним мережам адаптуватися до фізичних обмежень і забезпечує наближене розв'язання задач, враховуючи важливі аспекти фізичної структури. Зазвичай використовуються прості архітектури, наприклад мережі прямого поширення сигналу з невеликою кількістю шарів. У даній роботі досліджується можливість розв’язання нелінійних задач пружності нейромережевим підходом.
Посилання
Vladov S., Shmelov Yu., Kotliarov K., Hrybanova S., Husarova O., Derevyanko I., Chyzhova L. Onboard parameter identification method of the TV3-117 aircraft engine of the neural network technologies. Вісник КрНУ імені Михайла Остроградського. Випуск 5/2019 (118), 2019. P. 90–96.
Edwards C.H., Penney D.E., Calvis D.T. Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. Boston: Pearson, 2014. 797p.
Pinder G.F. Numerical Methods for Solving Partial Differential Equations. John Wiley & Sons, Inc., 2018.
Karniadakis G.E., Kevrekidis I.G., L.Lu, P. Perdikaris, Wang S., Yang L., Physics-informed machine learning, Nat Rev Phys, vol. 3, no. 6, pp. 422–440, 2021, doi: 10.1038/s42254-021-00314-5.
Willard J., Jia X., Xu S., Steinbach M., Kumar V. Integrating Scientific Knowledge with Machine Learning for Engineering and Environmental Systems. ACM Comput. Surv., 2022, https://doi.org/10.1145/3514228
Cybenko G.V. Approximation by Superpositions of a Sigmoidal function, Mathematics of Control, Signals and Systems, , 1989, vol. 2 no. 4 pp. 303–314.
Lagaris I.E., Likas A., Fotiadis D.I. Artifial Neural Networks for Solving Ordinary and Partial Differential Equations. arXiv:physics/9705023v1, 1997, https://doi.org/10.1109/72.712178
Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. Journal of Computational Physics 378, 2019, 686–707.
Sirignano J., Spiliopoulos K. DGM: A deep learning algorithm for solving partial differential equations. arXiv:1708.07469v5, 2018.
Weinan E, Bing Yu. The Deep Ritz Method: A Deep Learning-Based Numerical Algorithm for Solving Variational Problems. Commun. Math. Stat.,2018, 6:1–12. https://doi.org/10.1007/s40304-018-0127-z
Hongwei Guo, Timon Rabczuk, and Xiaoying Zhuang. A Deep Collocation Method for the Bending Analysis of Kirchhoff Plate. arXiv:2102.02617v1, 2021.
Lu Lu, Xuhui Meng, Zhiping Mao, George Em Karniadakis. DEEPXDE: A Deep Learning Library For Solving Differential Equations. arXiv:1907.04502v2, 2020.
Seo J. Solving real-world optimization tasks using physics-informed neural computing. Scientific Reports, 14(1), 202, 2024.
Radbakhsh S.H., Zandi K., Nikbakht M. Physics-informed neural network for analyzing elastic beam behavior. Structural Health Monitoring, 2023.
Duy T.N. Trinh, Khang A. Luong, Jaehong Lee, An analysis of functionally graded thin-walled beams using physics-informed neural networks, Engineering Structures, Volume 301, 2024, 117290, ISSN 0141-0296, https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2023.117290.
Fallah A., Aghdam M.M. Physics-informed neural network for bending and free vibration analysis of threedimensional functionally graded porous beam resting on elastic foundation. Engineering with Computers 40, 437–454 (2024). https://doi.org/10.1007/s00366-023-01799-7
Khang A. Luong, Thang Le-Duc, Jaehong Lee, Deep reduced-order least-square method—A parallel neural network structure for solving beam problems, Thin-Walled Structures, Volume 191, 2023, 111044, ISSN 0263-8231, https://doi.org/10.1016/j.tws.2023.111044
Bolandi, H., Sreekumar, G., Li, X. et al. Physics informed neural network for dynamic stress prediction. Appl Intell 53, 26313–26328 (2023). https://doi.org/10.1007/s10489-023-04923-8
Faroughi, S., Darvishi, A. & Rezaei, S. On the order of derivation in the training of physics-informed neural networks: case studies for non-uniform beam structures. Acta Mech 234, 5673–5695 (2023). https://doi.org/10.1007/s00707-023-03676-2
Maziyar Bazmara, Mohammad Silani, Mohammad Mianroodi, Mohsen Sheibanian. Physics-informed neural networks for nonlinear bending of 3D functionally graded beam. Structures 49 (2023) 152–162, https://doi.org/10.1016/j.istruc.2023.01.115 21. Vahab M., Haghighat E., Khaleghi M., Khalili N. A Physics Informed Neural Network Approach to Solution and Identification of Biharmonic Equations of Elasticity. arXiv:2108.07243, 2021
Kapoor T., Wang H., Núñez A., Dollevoet R. Transfer Learning For Improved Generalizability In Causal Physics-Informed Neural Networks For Beam Simulations. http://arxiv.org/abs/2311.00578, 2023.
M. Bazmara, M. Mianroodi, and M. Silani, Application of physics-informed neural networks for nonlinear buckling analysis of beams, Acta Mech. Sin. 39, 422438 (2023), https://doi.org/10.1007/s10409-023-22438-x
S. Haykin, Neural Networks and Learning Machines (3rd Edition), Prentice Hall, 2009
Reddy J.N. Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells (3nd Edition), CRC Press, 2007.
Кудін О.В., Сторожук Є.А., Чопоров С.В. Наближені аналітичні та чисельні методи аналізу міцності тришарових тонкостінних конструкцій: монографія. Херсон : Видавничий дім “Гельветика”, 2019. 160 с.
Vinson J.R. The Behavior of Thin Walled Structures: Beams, Plates, and Shells. Kluwer Academic Publishers, 1989.
Wang Z.-Q., Jiang J., Tnag B.-T., Zheng W. High Precision Numerical Analysis of Nonlinear Beam Bending Problems Under Large Deflection. Applied Mechanics and Materials Vols. 638-640. P. 1705–1709, 2014. https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/amm.638–640.1705
Mohammadpour A., Rokni E., Fooladi M., Kimiaeifar A. Approximate Analytical Solution For Bernoulli-Euler Beams Under Different Boundary Conditions With Non-Linear Winkler Type Foundation. Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 50, 2, pp. 339–355, 2012.
