АПРОКСИМАЦІЇ НА СКІНЧЕННОМУ ЕЛЕМЕНТІ У ФОРМІ ПРАВИЛЬНОГО N-КУТНИКА

Анотація

Елементи серендипової сім’ї утворюють корисний клас скінченних елементів. Вони поширені в практичних розрахунках незважаючи на те, що погано формалізуються. Головна проблема серендипових скінченних елементів (ССЕ) полягає в тому, що існуючі методи конструювання функцій форми (метод оберненої матриці, процедура систематичного генерування функцій форми) не дають можливості вийти за рамки стандартних моделей на ССЕ. В стандартних моделях кількість параметрів інтерполяційного полінома відповідає кількості вузлів на границі елемента. Відомо, що стандартні моделі СЕ вищих порядків мають певні недоліки (наприклад, від’ємні значення вузлових навантажень, кратні нулі у граничних вузлах). Тому існує потреба у використані інших методів конструювання функцій форми і удосконаленні існуючих. У роботі проаналізована можливість побудови базисних функцій на дискретному елементі у формі n-кутника. Розглянуто скінчений елемент у формі правильного п'ятикутника, його можна використовувати як обчислювальний шаблон у колі. Наразі завдання побудови та дослідження унітарного базису на дискретному п'ятикутному елементі (пентагоні) не розглядалася. Для конструювання базисів дискретних елементів у формі n-кутників використовувався геометричний метод. Це модифікація методу “product of planes”, яка використовує техніку перемноження рівнянь площин і поверхонь другого порядку. Нові методи значно спрощують процедуру побудови базису (не виникає потреби розв’язувати СЛАР відповідного порядку на елементі) і дозволяють отримати альтернативні моделі ССЕ. Наявність “позавузлових” параметрів у моделях, що отримані за допомогою нових методів, дає можливість позбавитись від недоліків, які притаманні стандартним моделям (наприклад, від від’ємних значень навантажень у вузлах). Побудовано три системи базисних функцій на п'ятикутнику за допомогою матричного методу, геометричного моделювання і модифікованого методу “product of planes”. Подальша оптимізація властивостей базисних функцій може бути досягнута за допомогою зваженого усереднення функцій. Запропоновані методики можуть бути поширені на довільні n-кутники і узагальнені на випадок просторових дискретних елементів з основою в формі правильного n-кутника.